Spazi di moduli analitici di funzioni non quasi-omogenee.

Let f be a germ of holomorphic function in two variables which vanishes at the origin. The zero set of this function defines a germ of analytic curve. Although the topological classification of such a germ is well known since the work of Zariski, the analytical classification is still widely open. In 2012, Abramo Hefez and Marcelo Hernandes solved the irreducible case and announced the two components case. In 2015, Yohann Genzmer and Emmanuel Paul solved the case of topologically quasi-homogeneous functions. The main purpose of this thesis is to study the first topological class of non quasi-homogeneous functions. In chapter 2, we describe the local moduli space of the foliations in this class and give a universal family of analytic normal forms. In the same chapter, we prove the global uniqueness of these normal forms. In chapter 3, we study the moduli space of curves which is the moduli space of foliations up to the analytic equivalence of the associated separatrices. In particular, we present an algorithm to compute its generic dimension. Chapter 4 presents another universal family of analytic normal forms which is globally unique as well. Indeed, there is no canonical model for the distribution of the set of parameters on the branches. So, with this family, we can see that the previous family is not the only one and that it is possible to construct normal forms by considering another distribution of the parameters. Finally, concerning the globalization, we discuss in chapter 5 a strategy based on geometric invariant theory and explain why it does not work so far.

Sia f un germe di funzione olomorfa in due variabili che svanisce all'origine. L'insieme zero di questa funzione definisce un germe della curva analitica. Sebbene la classificazione topologica di un tale germe sia ben nota sin dal lavoro di Zariski, la classificazione analitica è ancora ampiamente aperta. Nel 2012, Abramo Hefez e Marcelo Hernandes hanno risolto il caso irriducibile e annunciato il caso dei due componenti. Nel 2015 Yohann Genzmer e Emmanuel Paul hanno risolto il caso di funzioni topologicamente quasi omogenee. Lo scopo principale di questa tesi è quello di studiare la prima classe topologica di funzioni non quasi omogenee. Nel capitolo 2, descriviamo lo spazio dei moduli locali delle foliazioni in questa classe e forniamo una famiglia universale di forme analitiche normali. Nello stesso capitolo, proviamo l'unicità globale di queste forme normali. Nel capitolo 3, studiamo lo spazio dei moduli delle curve che è lo spazio dei moduli delle foliazioni fino all'equivalenza analitica delle separatrici associate. In particolare, presentiamo un algoritmo per calcolare la sua dimensione generica. Il capitolo 4 presenta un'altra famiglia universale di forme analitiche normali che è globalmente unica. In effetti, non esiste un modello canonico per la distribuzione dell'insieme di parametri sui rami. Quindi, con questa famiglia, possiamo vedere che la famiglia precedente non è l'unica e che è possibile costruire forme normali considerando un'altra distribuzione dei parametri. Infine, riguardo alla globalizzazione, discutiamo nel capitolo 5 una strategia basata sulla teoria dell'invariant geometrica e spieghiamo perché non funziona fino ad ora.