Constant mean curvature hypersurfaces in Anti-de Sitter space

This thesis is devoted to the study of \textit{constant mean curvature} (CMC) spacelike hypersurfaces, which are a generalization of \textit{minimal surfaces}, in the \textit{Anti-de Sitter space} $\mathbb{H}^{n,1}$, namely the Lorentzian spaceform of negative sectional curvature. Our first achievement is the complete classification of properly embedded CMC spacelike hypersurfaces, namely we show that every admissible sphere $\Lambda$ is the boundary of a unique such hypersurface, for any given value $H\in\mathbb{R}$ of the mean curvature. It is known that any admissible sphere $\Lambda$ is contained in a unique maximal globally hyperbolic Anti-de Sitter manifold, denoted by $\Omega(\Lambda)$, which is called the \textit{invisible domain} of $\Lambda$. We also demonstrate that, as $H$ varies in $\R$, these hypersurfaces analytically foliate the invisible domain of $\Lambda$: this foliation induces an analytic time-function on $\Omega(\Lambda)$. To conclude the qualitative investigation of CMC hypersurfaces in Anti-de Sitter space, we extend Cheng-Yau Theorem to the Anti-de Sitter space, which establishes the completeness of any entire constant mean curvature hypersurface. The second main goal of this thesis consists in a quantitative study of properly embedded CMC spacelike hypersurfaces. As main characters of this part, we introduce the notion of $H-$shifted convex hull $\mathcal{CH}_H(\Lambda)$ of a quasi-sphere $\Lambda$, and its width $\omega_H(\Lambda)$, namely its timelike diameter. We bound by $\omega_H(\Lambda)$ the extrinsic curvature of the properly embedded CMC spacelike hypersurface with mean curvature $H$ and the asymptotic boundary $\Lambda$, up to a universal constant. As a first application of this result, we produce a \textit{pletora} of CMC hypersurfaces with sectional curvature uniformly negative. Then, we introduce the notion of \textit{quasi-sphere}, which extends the notion of \textit{quasi-symmetric curve} in higher dimension: we characterize quasi-spheres in term of the width of their $H-$shifted convex hull. Then, we prove that they have nice dynamical properties. Then, we prove that quasi-spheres are a good generalization of the universal Teichm\"uller space in the context of \textit{higher higher Tiechm\"uller theory}. Finally, we focus on the $3-$dimensional case: CMC surfaces are strictly linked to \textit{constant sectional curvature} (CSC) surfaces, which allows us to classify CSC surfaces in $\mathbb{H}^{2,1}$. Moreover, CMC surfaces induce $theta-$landslide, a special class of diffeomorphisms of the hyperbolic plane $\mathbb{H}^2$: we classify them and prove that their quasiconformal dilatation is bounded by the cross-ratio norm of their extension to $\partial\mathbb{H}^2$, if the latter is small enough.

Questa tesi è dedicata allo studio delle ipersuperfici di tipo spazio a \textit{curvatura media costante} (CMC), che sono una generalizzazione delle \textit{superfici minime}, nello \textit{spazio Anti-de Sitter} $\mathbb{H}^{n,1}$, ossia il modello lorentziano di spazio a curvatura sezionale negativa costante. Il nostro primo risultato è la classificazione completa delle ipersuperfici CMC di tipo spazio propriamente embedded. Mostriamo che ogni sfera ammissibile $\Lambda$ è il bordo di un'unica tale ipersuperficie, per qualsiasi valore $H\in\mathbb{R}$ della curvatura media. È noto che ogni sfera ammissibile $\Lambda$ è contenuta in un'unica varietà Anti-de Sitter iperbolica globale massimale, denotata come $\Omega(\Lambda)$, chiamata \textit{dominio invisibile} di $\Lambda$. Dimostriamo inoltre che, al variare di $H$ in $\mathbb{R}$, queste ipersuperfici foliano analiticamente il dominio invisibile di $\Lambda$: questa foliazione induce una funzione tempo analitica su $\Omega(\Lambda)$. Per concludere l'indagine qualitativa delle ipersuperfici CMC nello spazio Anti-de Sitter, estendiamo il teorema di Cheng-Yau allo spazio Anti-de Sitter, mostrando la completezza di ogni ipersuperficie intera a curvatura media costante. Il secondo obiettivo di questa tesi consiste in uno studio quantitativo delle ipersuperfici CMC di tipo spazio propriamente embedded. Come principali oggetti di questa parte, introduciamo la nozione di inviluppo convesso $H-$shifted $\mathcal{CH}_H(\Lambda)$ di una quasi-sfera $\Lambda$, e il suo spessore $\omega_H(\Lambda)$, ossia il suo diametro temporale. Limitiamo con $\omega_H(\Lambda)$ la curvatura estrinseca dell'ipersuperficie CMC di tipo spazio propriamente embedded con curvatura media $H$ e bordo asintotico $\Lambda$, a meno di una costante universale. Come prima applicazione di questo risultato, produciamo una \textit{pletora} di ipersuperfici CMC con curvatura sezionale uniformemente negativa. Successivamente, introduciamo la nozione di \textit{quasi-sfera}, che estende la nozione di \textit{curva quasi-simmetrica} in dimensione superiore: caratterizziamo le quasi-sfere in termini dello spessore del loro inviluppo convesso $H-$shifted $\Lambda$. Poi, dimostriamo che esse possiedono buone proprietà dinamiche. Dimostriamo inoltre che le quasi-sfere sono una buona generalizzazione dello spazio di Teichmüller universale nel contesto della \textit{teoria di Teichmüller di dimensione e rango superiore}. Infine, ci concentriamo sul caso tridimensionale: le superfici CMC sono strettamente legate alle superfici a \textit{curvatura sezionale costante} (CSC), il che ci consente di classificare le superfici CSC in $\mathbb{H}^{2,1}$. Inoltre, le superfici CMC inducono $theta-$landslide, una classe speciale di diffeomorfismi del piano iperbolico $\mathbb{H}^2$: le classifichiamo e dimostriamo che la loro dilatazione quasiconforme è limitata dalla norma del birapporto della loro estensione a $\partial\mathbb{H}^2$, se quest'ultima è sufficientemente piccola.